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Qu'est-ce que la preuve par neuf ?
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La preuve par neuf est une solution rapide pour vérifier que le résultat d'une multiplication (ou d'une division) a des chances d'être juste.

Tout d'abord, voici un bref rappel de quelques définitions. Dans une multiplication, nous avons le multiplicande, le multiplicateur, et enfin le produit. Par exemple, 872 (multiplicande) multiplié par 547 (multiplicateur) donne 476 984 (produit).

Pour appliquer la preuve par neuf à une opération, on trace alors deux barres en croix de Saint-André (un gros "X"). Ensuite, on additionne les chiffres du multiplicande entre eux en enlevant 9 dès que leur addition atteint ou dépasse ce chiffre.

Exemple avec 872 : 8 + 7 = 15, 15 - 9 = 6, 6 + 2 = 8. Dans l'angle du haut, on inscrit ce 8.

De la même manière, on additionne les chiffres du multiplicateur.

Exemple avec 547 : 5 + 4 = 9, 9 moins 9 = 0, reste 7. Dans l'angle du bas, on inscrit ce chiffre 7.

Puis on multiplie mentalement ces deux chiffres (8 et 7) entre eux, soit 56, auxquels on fait subir le même procédé : 5 + 6 = 11, 11 moins 9 = 2. On pose ce 2 dans l'angle gauche de la croix.

Enfin, on additionne lers chiffres du produit. Avec notre exemple : 4 + 7 = 11, 11 - 9 reste 2. 2 + 6 = 8, 8 + 9 = 17, 17 - 9 reste 8, 8 + 8 = 16, 16 - 9 reste 7, 7 + 4 = 11, 11 - 9 reste 2. On pose ce chiffre dans l'angle de droite.

C'est ici que l'on peut vérifier que la calcul est bon : si les deux chiffres des angles de droite et de gauche sont égaux, la multiplication est vraisemblablement juste.

Remarque 1 :

Lors des additions mentales et que l'on dépasse le chiffre 9, on peut très bien additionner directement les deux chiffres obtenus. Cela revient au même et on va plus vite. Exemple avec 476.984 :
4 + 7 = 11, ce qui donne 1 + 1 = 2, auquel on ajoute 6, soit 8. 8 + 9 = 17. 1 + 7 = 8 auquel on ajoute 8, soit 16. 1 + 6 = 7, auquel on ajoute 4, soit 11. 1 + 1 = 2.

Remarque 2 :

Comme précisé, si la preuve par neuf fonctionne, cela signifie que la multiplication a des chances d'être juste. Mais il peut très bien arrivé que cela tombe juste, et que la division soit fausse si l'on prend n'importe quels chiffres au départ... A utiliser avec parcimonie, donc !

Remarque 3 :

La preuve par neuf fonctionne également sur les divisions, en remplaçant multiplicande, multiplicateur et produit par dividende, diviseur et quotient.


En savoir plus

   > D'après une contribution de G.T., région lyonnaise, France.
   > Dernière mise à jour : 10 avril 2009.
   > Cet article n'a pas encore été validé, et peut présenter des lacunes ou des erreurs.